LaSomme ( /sɔm/ Note 1) est un département français situé dans la région Hauts-de-France. Son nom provient de la Somme, le principal fleuve à traverser son territoire. Formant auparavant, avec l' Aisne et l' Oise, l'ancienne région Picardie, il constitue donc, depuis 2016, avec quatre autres départements (l'Aisne, le Nord, l'Oise et le Eneffet, tous les nombres incarnent une fraction et peuvent s’écrire sous forme de division. En cours de maths en ligne, en arithmétique, pour obtenir un quotient il faut effectuer une division. Le quotient de A par B est le nombre Q tel que B × Q = A. Le quotient existe ou pas selon l’ensemble des nombres choisis. Utiliserdes formules connues pour calculer une somme. Exercices : Développer une somme écrite à l’aide du symbole Σ . Il s’agit de l’élément actuellement sélectionné. Le signe somme Σ . Utiliser des formules connues pour calculer une somme. Le signe somme Σ . Prochainement. Le signe somme Σ . Notre mission : apporter un enseignement gratuit et de qualité à tout le Lesdizaines vont en croissant de 0 à d–1. La somme de ces chiffres est (d–1) d / 2 et cela répété pour toutes les unités, soit 10 fois. Vient ensuite la dizaine partielle qui compte u + 1 valeurs, y compris la dizaine avec 0 pour unité. Les unités "pèsent" simplement la somme des chiffres jusqu'à u, soit: u (u+1) / 2. Commentcalculer l’indice Insee d’une pension alimentaire ? Si le montant de la pension pour l’année 2020 est de 300 €, que le nouvel indice mensuel est 105,55 et que l’ancien indice mensuel est de 104,04, le calcul sera le suivant : 3,,,35.. Quel est l’indice pension alimentaire 2021 ? Ce qui donne un nouveau montant égal à 5/103,,73 euros. Dịch Vụ Hỗ Trợ Vay Tiền Nhanh 1s. Macro-planning, rétroplanning, planning directeur, planning détaillé, diagramme de Gantt... Il existe une multitude de plannings. C'est parfois difficile de s'y retrouver et de savoir lequel utiliser dans quelle nous allons voir ensemble les différences entre un planning classique et un diagramme de Gantt, et je vais également vous expliquer dans cet article lequel choisir en fonction de votre vos ceintures, c'est parti !Un bref rappel des notionsAvant de rentrer dans le vif du sujet, voici 3 définitions rapides qu'il est important de connaître. Si vous n'êtes pas familier avec ces outils, je vous invite à les approfondir via les articles compagnons avant de continuer qu'un planning ? Le planning projet décrit les différentes actions à réaliser dans le temps, avec une date de début et une date de fin. Il fait également apparaître les phases principales du projet ainsi que les qu'un calendrier projet ?Le calendrier projet est un planning projet présenté sous le format d'un calendrier. Les tâches sont réparties par journée, et possèdent généralement un code couleur pour montrer leur appartenance à telle ou telle phase du aller + loin Consultez cet article pour savoir comment créer un calendrier projet en partant de qu'un diagramme de Gantt ?Le diagramme de Gantt est une représentation visuelle du planning projet dans le temps. Les tâches et phases sont affichées sous forme de barre horizontale, leur longueur indiquant la durée dans le temps. Les losanges représentent les jalons du projet, et les dépendances peuvent également aller + loin Consultez cet article pour découvrir en détails ce qu'est un diagramme de vs Calendrier vs Diagramme de GanttQuels sont les avantages et inconvénients du planning projet, du calendrier projet et du diagramme de Gantt ? Comment les différencier ? Et comment savoir quand les utiliser ?Voici un tableau récapitulatif pour vous permettre de mieux vous y projetCalendrier projetDiagramme de GanttUsageVisualiser les tâches et phases importantes d'un projetVisualiser le cadencement d'un projet dans le tempsVisualiser toutes les tâches de façon détaillée et la manière dont elles s'enchaînentAspectLibre, le plus souvent dans un fichier ExcelSous forme de calendrier traditionnelDiagramme à barres horizontales représentant les tâches, la longueur étant égale à la duréeDestinatairesMembres du comité de pilotage et DirectionComité de pilotage, Direction, équipe projetEquipe projet, comité projet, parties prenantesGranularité Niveau de détailsPlanning macro "simplifié"Planning macro "simplifié"Planning micro détailléFacilité de réalisationSimpleMoyenneComplexeFacilité d'utilisationSimpleSimpleComplexeAdapté au multi-projetDépend de la forme du planning, le plus souvent du chemin critiqueNonNonOuiVisibilité des dépendancesNonNonOuiVisibilité des buffersNonNonOuiVisibilité des chevauchements de tâchesNonNonOuiVisibilité du taux de progressionNonNonOuiComment et quand choisir entre un planning, un calendrier et un Gantt ?Planning, calendrier, diagramme de Gantt ? Votre cœur balance entre ces trois options et vous avez du mal à vous décider. Lequel serait le plus adapté à votre projet ?Mettons fin tout de suite à ce suspense insupportable, et analysons ensemble les cas d'utilisation pour ces trois types de situations où utiliser un planningVoici 5 situations dans lesquelles je vous recommande de privilégier le planning projet type macro-planning ou rétroplanning aux autres réalisé sous Excel1 Avoir un aperçu des dates et étapes-clés d'un projetPlus un planning est simple et épuré, plus il est ainsi un excellent moyen d'obtenir un aperçu des dates importantes sur un projet, ainsi que des jalons et des peut également apercevoir rapidement les dates de début et de fin des principales étapes du planning projet est parfait pour garder un œil sur le déroulé du projet, ou pour présenter le projet dans les grandes lignes aux parties prenantes ou à sa propre Visualiser le cadencement d'un projet dans le tempsIl permet également de visualiser concrètement comment les phases s'enchaînent entre fonction du niveau de granularité du planning, on peut y apercevoir des dates de début et de fin précises, ou alors raisonner en semaines ou en permet aux parties prenantes d'avoir une idée du déroulement du projet, et de valider ce cadencement par rapport à leurs propres contraintes Partager un planning simple à comprendre avec les parties prenantesL'un des plus gros avantages du planning projet est sa simplicité d'utilisation. On comprend immédiatement ce à quoi on a affaire et on lit intuitivement le planning sans avoir besoin d'une aide ce qui le rend parfait pour le partager avec les parties prenantes dans un mail ou lors du comité de Avoir une vision haute du projetIl permet également de maintenir une "vue hélicoptère" ou une vision haute du projet. En effet, le chef de projet peut ainsi visualiser le projet dans son ensemble sans être tenté de se concentrer sur le détail des tâches techniques à document est souvent utilisé dans les rapports d'avancement, ou pour suivre l'état d'avancement du projet au quotidien et en Réaliser et maintenir le planning simplementRéaliser un planning de qualité et le maintenir dans le temps, c'est compliqué et c'est vraiment consommateur en temps. parole de chef de projet !Si vous souhaitez éviter de passer plusieurs heures chaque semaine pour mettre à jour votre planning, je vous recommande vivement de réaliser un macro-planning ou un maintien quotidien sera l'affaire de quelques minutes cas de figure où choisir le calendrier projetVoici 5 situations dans lesquelles je vous recommande de dégainer votre plus beau calendrier projet réalisé avec l'application Asana1 Visualiser dates et tâches importantesLe calendrier projet est l'outil idéal pour visualiser les dates et les tâches importantes qui vont avoir lieu dans les prochains jours, semaines et tâche possède un code couleur qui permet de la relier à la phase d'un projet, et peut également posséder un indicateur de réalisation à faire, en cours, terminé ainsi que le nom de la personne à qui elle est Savoir quand les actions vont être réalisées et par quiContrairement au planning projet, le calendrier projet rentre un peu plus dans le détail du permet ainsi d'afficher pour chaque tâche qui en est responsable et quel est le statut actuel de la informations permettent aux parties prenantes ainsi qu'au chef de projet de pouvoir suivre au quotidien le déroulé d'un Partager un document simple à comprendre avec les acteurs projetL'un des plus gros avantages du calendrier projet est sa simplicité d'utilisation. Tout le monde sait se servir d'un calendrier, tout le monde comprend immédiatement comment le ce qui le rend parfait pour le partager avec les parties prenantes dans un mail ou lors du comité de pilotage, tout en évitant des discussions opérationnelles à cause d'une granularité trop fine comme le diagramme de Avoir une vision opérationnelle des prochaines semainesIl permet également de rentrer un peu plus dans le détail des actions à réaliser, contrairement au planning projet. Le calendrier projet apporte ainsi une vision opérationnelle sur les jours, semaines et mois à en fait donc également l'outil parfait en comité projet pour suivre l'avancement des tâches et discuter des prochaines Planifier une réunion projetEnfin, cet outil visuel permet également d'identifier rapidement les journées chargées et les journées où les intervenants sont disponibles, afin de programmer un atelier de travail ou encore un comité cas d'utilisation pour le diagramme de GanttVoici 5 situations dans lesquelles je vous recommande d'utiliser un diagramme de Gantt, bien qu'il s'agisse d'un planning demandant plus de temps de réalisation que les deux projet réalisé avec l'application ClickUp1 Obtenir une vision détaillée de tout le projetL'un des plus gros avantages d'un diagramme de Gantt est d'afficher de manière ultra détaillée toutes les tâches d'un projet, tous les jalons et toutes les cependant, plus votre projet est long et complexe, plus il contiendra de tâches, moins votre diagramme de Gantt complet sera vous recommande donc de le visualiser par phase, afin que la lecture reste agréable pour vous et les parties Visualiser avec précision l'enchaînement des tâchesIl permet également de montrer via des flèches quelles sont les dépendances entre les tâches, ainsi que les buffers les zones tampons pour absorber un retard, et les éventuels chevauchement entre plusieurs obtenez ainsi une compréhension fine du déroulement du projet, et de comment les actions s'enchaînent entre Afficher le chemin critique du projetSeul le diagramme de Gantt peut vous permettre de voir le chemin critique de votre projet. En quoi est-ce utile, me direz-vous ?Cela vous permet d'identifier la plus longue séquence ininterrompue de tâches sur votre projet. Autrement dit, le moindre retard sur l'une de ces tâches entraînera inévitablement un retard sur l'ensemble de votre savez ainsi à l'avance sur quels points porter votre Voir les écarts et anticiper la dérive des objectifsAutre point à mon sens très intéressant, la capacité quasi en temps réel de voir les écarts entre ce qui était prévu et ce qui est pouvez visualiser le taux de progression par phase, mais également par est utile, notamment pour anticiper la dérive des objectifs et le décalage incontrôlé dans le temps de votre Gérer plusieurs projets en parallèleEnfin, le diagramme de Gantt vous permet de gérer plus simplement plusieurs projets en vos projets font partie d'un même programme, vous pouvez même décider de tous les regrouper dans le même également utile lorsqu'on switche d'un projet à l'autre pour se rappeler dans les moindres détails les tâches en cours et à venir sur un projet, et où on en est logiciels pour réaliser des diagrammes de Gantt en ligne1 de Gantt réalisé avec l'application c'est un peu la boîte à outils parfaite du chef de projet. Vous trouverez dans cet outil tout ce qu'il faut pour gérer convenablement un projet et une équipe, et le diagramme de Gantt n'y fait pas dépendances et les jalons sont plus lisibles que sur la plupart des concurrents, et la prise en main est à des années lumière d'autres logiciels. C'est clairement mon coup de cœur !2 TeamGanttDiagramme de Gantt réalisé avec l'application TeamganttTeamgantt s'est spécialisé dans une chose, et il le fait bien les diagrammes de Gantt. Contrairement à d'autres logiciels qui proposent cette fonctionnalité mais qui n'est pas forcément des plus simples à utiliser, Teamgantt a été construit autour des diagrammes de Gantt. La version gratuite vous propose actuellement de travail sur 1 projet et 60 tâches, ce qui est plus que suffisant pour tester l'efficacité de ce logiciel dans la création d'un Asana + InstaganttDiagramme de Gantt réalisé avec le duo d'application Asana + InstaganttAsana est un logiciel bien connu pour gérer son temps et ses tâches. Il propose une vue chronologie efficace, mais pas autant efficace qu'un diagramme de s'est donc naturellement associé à Instagantt afin de créer en quelques clics des diagrammes de Gantt à partir des éléments renseignés dans WrikeDiagramme de Gantt réalisé avec l'application WrikeWrike fait partie des poids lourds des logiciels de gestion de projet, et propose naturellement la possibilité de créer ses propres diagrammes de Gantt. L'interface, bien que plus sommaire que certains des concurrents, est épurée et permet d'aller à l'essentiel sans être ClickUpDiagramme de Gantt réalisé avec l'application ClickUpClickUp est l'outil à tout faire c'est sa philosophie. Il propose donc naturellement de transformer une liste de tâches en diagramme de Gantt. L'outil est simple à utiliser, et on arrive vite à créer des Gantt de qualité ou de visualiser les buffers et le chemin critique du hyper flexible permet également de configurer ClickUp vraiment comme on le souhaite, et ça c'est un sacré plus selon moi. Dans un article précédent je vous avais expliqué comment faire des sommes sur Excel. Nous allons aller plus loin et voir comment sommer seulement certaines cellules en appliquant des conditions. Prenons l’exemple d’un marchand de meubles qui souhaite calculer 2 chiffres d’affaires le CA effectué en vendant des chaises et le CA effectué en vendant des tables aux particuliers. Comment les calculer automatiquement? En Cadeau Télécharge gratuitement le fichier Excel d’exemple, prêt à l’emploi Tableau de ventes Faire une somme avec une seule condition avec la fonction Utilisation de Dans le premier cas nous allons utiliser la formule . Cette fonction permet de sommer les cellules dans une colonne, uniquement si la cellule dans une colonne parallèle vérifie une certaine condition. Dans notre cas, on sommera les chiffres d’affaires de la colonne E uniquement si la cellule sur la même ligne dans la colonne B est égale à Chaises » La syntaxe de cette fonction est la suivante = Plage de cellules devant respecter la condition ; Valeur à respecter ; Plage de cellules à sommer Dans notre cas, elle devient = »Chaises »;E2E13 En Cadeau Télécharge gratuitement le fichier Excel d’exemple, prêt à l’emploi Utilisation de Dans le second cas, nous avons besoin de faire une somme avec plusieurs conditions. Ce n’est pas possible avec mais c’est possible avec la formule En Cadeau Télécharge gratuitement le fichier Excel d’exemple, prêt à l’emploi Le fonctionnement de cette fonction est similaire à mais elle permet de spécifier plusieurs plages de données devant chacune respecter un critère. La syntaxe de cette formule est = Plage de cellules à sommer; Plage devant vérifier le critère n°1 ; Valeur à respecter n°1; Plage devant vérifier le critère n°2 ; Valeur à respecter n°2;…etc Vous pouvez mettre autant de critères que vous le souhaitez. Dans notre exemple on va sommer la colonne E si on trouve Tables » dans la colonne B et Particulier » dans la colonne C, la formule devient donc = »Tables »;C2C13; »Particulier » Tu souffres sur Excel ? Ça se soigne ! Un traitement de choc pour tous tes problèmes de tableur! Docteur Excel t'apprends à manipuler Excel avec une précision chirurgicale pour gagner un temps fou, éblouir ton patron et devenir un pro du tableur. Un livre de Wikilivres. Opérations arithmétiques élémentaires Faire une addition à la main Faire une soustraction à la main Faire une multiplication à la main Faire une division à la main Calculer une racine Calcul de la racine carrée d'un nombre Calcul de la racine cubique d'un nombre Calcul de la racine quatrième d'un nombre Calcul de la racine n-ième d'un nombre Opérations sur les polynômes Exercices Cette page explique comment additionner des nombres entiers à la main, c'est-à-dire avec papier et crayon, voire de tête. Ajout de nombres entiers à 1 chiffre[modifier modifier le wikicode] Il faut pour cela nécessairement connaitre la table d'addition. Rien de mieux que l'entrainement pour cela. La table d'addition suivante est simplifiée le zéro n'est pas représenté puisque ajouter 0 à n'importe quel nombre ne le change pas. La table ne donne donc que les chiffres de 1 à 9 ; Pour éviter les doublements et clarifier la lecture, on n'a gardé qu'une seule des additions équivalentes 1+9 et 9+1 par exemple. Il ne reste que les couples de chiffres utiles et donc à connaitre pour additionner. Table d'addition + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 5 6 7 8 9 10 11 3 6 7 8 9 10 11 12 4 8 9 10 11 12 13 5 10 11 12 13 14 6 12 13 14 15 7 14 15 16 8 16 17 9 18 Vous pourrez noter quelques couples particuliers ; les repérer vous sera d'une grande aide pour des additions plus compliquées Ceux dont la somme des chiffres font 10 1+9 ; 2+8 ; 3+7 ; 4+6 ; 5+5. Ceux dont la somme est inférieure à 10 en haut à gauche des 10 dans le tableau Ceux dont la somme est supérieure à 10 en bas à droite des 10 dans le tableau Exemples 4+3=7, 5+1=6 6+7=13 1+9=10 Ajout de nombres entiers à 2 chiffres, sans retenue[modifier modifier le wikicode] Il faut d'abord savoir décomposer les nombres à deux chiffres en unités et dizaines. Exemple 54 se décompose en 4 unités et 5 dizaines. Sans retenue signifie que la somme des chiffres des unités et des dizaines séparément n'atteint pas 10. Pour cela, il est utile de connaitre les couples de chiffres qui s'y prêtent voir table d'addition précédente. Exemple comment calculer 12 + 53 ? Tout d'abord on remarque que Somme des unités 2 + 3 10 Il faut alors faire une retenue pour ce calcul. Exemple pas à pas[modifier modifier le wikicode] Comment calculer 36 + 57 ? On remarque que Somme des unités 6 + 7 > 10 donc il nous faudra faire une retenue. Poser l'addition[modifier modifier le wikicode] 3 6 + 5 7 _____ = 9 3 <- résultat à calculer, voir ci-dessous Calcul des unités[modifier modifier le wikicode] Le calcul s'effectue ensuite en commençant par les unités 6 + 7 = 13 Le résultat 13 unités peut se décomposer en 3 unités et 1 dizaine. Ce 1 dizaine sera donc ajouté aux dizaines de 36 c'est-à-dire 3 et de 57 c'est-à-dire 5. On dit généralement que l'on retient 1 » autrement dit la retenue est 1. On écrit donc le chiffre des unités 3 en bas dans la ligne des résultats 3 6 + 5 7 _____ = 3 <- unités calculées et la retenue 1 est notée en petit en haut de la colonne des dizaines 1 <- retenue 3 6 + 5 7 _____ = 3 <- unités calculées Calcul des dizaines[modifier modifier le wikicode] Vient ensuite le calcul des dizaines On calcule la somme des dizaines des deux nombres 3 + 5 = 8 puis on y ajoute la retenue 8 + 1 = 9 On inscrit ce résultat dans la colonne des dizaines 1 <- retenue 3 6 + 5 7 _____ = 9 3 <- chiffres calculés Lecture du résultat[modifier modifier le wikicode] Le résultat du calcul de 36 + 57 est donc 93. Explication[modifier modifier le wikicode] Notre système de numération est à base décimale, c'est à dire qu'il comporte 10 chiffres. L'écriture des nombres repose sur la convention suivante chaque chiffre représente une puissance de 10, le chiffre le plus à droite concernant l'unité 10 puissance 0, le chiffre suivant à gauche du premier concerne les dizaines 10 puissance 1, et ainsi de suite pour les centaines 10 puissance 2, etc. exemple[modifier modifier le wikicode] 102 = 1×100 + 0×10 + 2x1 analyse[modifier modifier le wikicode] Reprenons la somme 12 + 53 12 = 1×10 + 2 53 = 5×10 + 3 donc 12 + 53 = 1×10 + 2 + 5×10 + 3 = 1+5×10 + 5 = 6×10 + 5 = 65 Ce résultat est obtenu par la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition On voit donc que l'écriture en colonne ne fait que traduire cette propriété. Et la retenue ?[modifier modifier le wikicode] 17 + 57 = 1×10 + 7 + 5×10 + 7 = 5 + 1×10 + 14 = 5 + 1×10 + 10 + 4 = 5 + 1 + 1×10 + 4 = 7×10 + 4 = 74 Si la logique est l’hygiène du mathématicien, ce n’est pas elle qui lui fournit sa nourriture ; le pain quotidien dont il vit, ce sont les grands problèmes. », André Weil Vous souvenez-vous vos cours d’arithmétique ? Faire des calculs n’est pas votre point fort, surtout les multiplications et divisions ? Pas de panique, Superprof vous fait une piqure de rappel de calculs élémentaires. À votre calculatrice ici, vous verrez comment calculer des fractions simples et surtout comment faire une division euclidienne sous forme de fraction. Les meilleurs professeurs de Maths disponibles5 155 avis 1er cours offert !5 81 avis 1er cours offert !4,9 139 avis 1er cours offert !4,9 67 avis 1er cours offert !4,9 120 avis 1er cours offert !4,9 112 avis 1er cours offert !4,9 81 avis 1er cours offert !4,9 96 avis 1er cours offert !5 155 avis 1er cours offert !5 81 avis 1er cours offert !4,9 139 avis 1er cours offert !4,9 67 avis 1er cours offert !4,9 120 avis 1er cours offert !4,9 112 avis 1er cours offert !4,9 81 avis 1er cours offert !4,9 96 avis 1er cours offert !C'est partiRappel qu’est-ce que le quotient de la division ? Il ne faut pas être mathématicien pour savoir que le quotient est le résultat d’une division. Une fraction est donc un nombre représenté par une division. Dans un problème d’arithmétique, chaque nombre représente une fraction. En effet, tous les nombres incarnent une fraction et peuvent s’écrire sous forme de division. En cours de maths en ligne, en arithmétique, pour obtenir un quotient il faut effectuer une division. Le quotient de A par B est le nombre Q tel que B × Q = A. Le quotient existe ou pas selon l’ensemble des nombres choisis. Dans les nombres entiers naturels, le quotient de A par B si et seulement si A est un multiple du nombre B. Pour rappel Le nombre entier naturel inscrit au-dessus de la barre de fraction s’appelle le numérateur, Celui inscrit en dessous le dénominateur, Le dénominateur de la fraction indique en combien de part on cherche à diviser, Le numérateur de la fraction spécifie le nombre de parts que l’on veut prendre, Il existe des fractions égales, c’est-à-dire que l’on passe de l’une à l’autre par une multiplication ou une division du numérateur et du dénominateur, Les fractions usuelles sont intégrées dans les expressions de la vie courante, telles qu’un quart d’heure ou encore une demi-part de gâteau. Dès que vous devez additionner des fractions, soustraire des fractions ou encore que plusieurs fractions sont présentes dans le calcul, l’élève simplifie les calculs en réduisant chaque fraction à son écriture fractionnaire la plus claire. Pour cela, il faut trouver le multiple commun pour pouvoir diviser la valeur de la fraction et donner des écritures les plus faciles possibles de chaque fraction. De même, pour les fractions ayant un dénominateur commun, vous pourrez faire la somme des chiffres des numérateurs. Le dénominateur, lui, reste le même. Pour les fractions dont le dénominateur est différent, vous devez d’abord les réduire au même dénominateur. Une fois que vous aurez déterminé un grand dénominateur commun, vous pouvez additionner ou soustraire les numérateurs entre eux. Maintenant que vous avez la notion de division en tête, que vous savez additionner les nombres des numérateurs, factoriser et trouver un grand diviseur commun, voyons comment faire des divisions euclidiennes. Si vous avez besoin de plus d'assurances, n'hésitez pas à vous tourner vers des cours particuliers de maths qui pourront vous aider à réviser les grandes lignes que nous venons de voir ensemble. En effectuant une division euclidienne d’un nombre entier naturel A par un nombre entier B, vous trouverez le quotient et le reste. N’oubliez pas, un quotient peut être simplifié si le numérateur et le dénominateur ont un commun multiple. Ici, le nombre rationnel A est appelé le dividende et le nombre réel B est nommé le diviseur. Tous deux vérifient le calcul suivant dividende = quotient x diviseur + reste ». Le reste doit toujours être strictement inférieur au diviseur. Lorsque le reste de la division de A par B est nul, c’est-à-dire égal à zéro, on annonce que A est divisible par B, que A est un multiple de B et que B est un diviseur de A. Yvan Monka, professeur de mathématiques, vous montre comment poser une division euclidienne avec reste dans la vidéo suivante Prêt à résoudre votre première fraction ? Voici les critères de divisibilité qui pourront vous aider, notamment lors d’un calcul mental. Un nombre entier positif est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8, 3 si la somme de ses chiffres est un multiple entier de 3, 4 si le nombre formé par l’association des deux derniers chiffres est un multiple de 4, 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9, 5 s’il se termine par 0 ou 5, 10 s’il se termine par 0, 100 s’il se termine par 00. Vous n’avez plus qu’à vous entraîner. Il n’y a qu’en pratiquant que vous arriverez à déterminer le quotient, le diviseur et le dividende d’une fraction. Dans tout ce qu'on entreprend, il faut donner les deux tiers à la raison, et l'autre tiers au hasard. Augmentez la première fraction, et vous serez pusillanime. Augmentez la seconde, vous serez téméraire. », Napoléon Bonaparte En cours de maths, les fractions décimales donnent une valeur exacte du quotient quand elle se termine par un reste égal à zéro. Le quotient d’un nombre décimal A par un nombre entier B est le nombre qui, multiplié par B, fournit A ». La division décimale permet d’obtenir Soit la valeur exacte du quotient, Soit la valeur approchée du quotient, Si le diviseur possède une virgule, il faudra modifier la division. Vous vous demandez probablement comment poser une division ? Nous vous montrons comment procéder grâce à un exemple. Effectuons la division de 126 par 4. Après avoir posé la potence, prenez les chiffres du dividende un à un à partir de la gauche jusqu’à obtenir un nombre supérieur au diviseur. Ici on adopte donc 12. Puis on cherche dans la table de 4 le nombre multiplié qui se rapproche le plus de 12 sans le dépasser 4 x 3 = 12 Écrivez donc 3 au quotient et 0 dans le reste. Continuez votre calcul avec le chiffre des unités. Tout d’abord, abaissez 6 à côté du reste. Vous avez 6 unités à partager en 4. Cherchez dans la table de 4 par quel chiffre multiplier le nombre 4 pour vous rapprocher le plus de 6. 6= 4x1+2 Vous pouvez écrire 1 au quotient. 1x4=4 donc abaissez 4 sous le 6 de votre reste. Puis calculez votre reste. 6-4=2 Il vous reste 2 unités. Vous pouvez arrêter votre calcul ici et dire que 126=4x31+2, mais vous pouvez également continuer jusqu’à avoir un quotient exact. Ainsi, vous allez pouvoir ajouter une partie décimale à votre quotient en lui greffant une virgule pour séparer la partie entière de celle décimale. Je sais que 2 =1/10 alors j’abaisse un 0 à côté de mon reste. Vous obtenez donc 20/10. Il faut maintenant les partager en 4. 4xX=20 20=4x5 Écrivez donc 5 au quotient derrière la virgule. Vous avez maintenant votre résultat exact qui est de 31,5. Abaissez une dernière fois 20 sous le 20. 20-20=0 Le calcul est donc terminé, car le reste est nul. Vous pourrez vérifier l’exactitude de votre calcul en multipliant le quotient par le diviseur. Normalement vous devriez ajouter à cela le reste, mais comme il est nul vous n’avez pas besoin. 31,5 x 4=126 Vous trouvez le même nombre que le dividende, votre calcul est donc exact ! Rien de tel qu'un exemple concret pour illustrer le calcul d'un quotient décimal en cours de maths. Notez toutefois que quelques fois la division ne s’arrête pas. Vous pouvez obtenir alors seulement une valeur approchée du résultat. Il est aussi possible de diviser un nombre décimal par un entier. Pour cela, commencez par travailler avec la partie entière. Ensuite, abaissez la partie décimale en plaçant une virgule à l’endroit adapté du quotient pour poursuivre la division. Si vous touchez aux maths, vous ne devez être ni pressés, ni cupides, fussiez-vous roi ou reine. », Euclide Maintenant que vous savez calculer le quotient d’un nombre entier et un quotient décimal, vous avez dû vous rendre compte que le problème de la division est surtout un problème de multiplication. En effet, pour pouvoir facilement évaluer des quotients, il est primordial de maîtriser ses tables de multiplication et donc être à l’aise avec le produit des nombres. Le quotient d’un nombre A par un nombre B est le nombre Q tel que le produit de Q par B est égal à A. Ce que l’on écrit a ¸ b = q si b ´ q = a. Si on multiplie le produit de facteurs par un nombre, le produit est multiplié aussi par ce même nombre. On ne change donc pas la valeur d’un quotient lorsque l’on multiplie ou divise le dividende et le diviseur par le même nombre. Prenons pour exemple A, B et C. Multipliez A par le quotient de B par C. Vous trouvez un résultat égal à un quotient dont le numérateur est le produit A x B et un dénominateur égal à C. La pratique est le secret pour maîtriser la base algébrique. Ce n’est qu’en faisant des exercices et encore des exercices que vous finirez par comprendre l’enjeu des fractions et leur utilité. Vous savez maintenant tout ce qu’il faut connaître sur le calcul d’un quotient en mathématiques. Voici toutefois un petit récapitulatif des notions à connaître Le résultat d’une division s’appelle le quotient, La division euclidienne donne un quotient entier et un reste, Le reste doit être inférieur au diviseur, La division décimale donne deux types de quotients le quotient à valeur exacte et le quotient à valeur approchée. Vous êtes prêt à vous lancer dans le calcul de fractions. Vous trouverez des tas d’exercices corrigés sur internet pour pratiquer, mais n’hésitez pas à faire appel à un prof particulier de maths pour réviser ces notions fondamentales. Calcul de sommes Enoncé Calculer $\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{-1^n}{n^2-1}$. On justifiera la convergence de la série. Enoncé Montrer que la série de terme général $$u_n=\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$ pour $n\geq 2$ est convergente, et calculer sa somme. Enoncé Soit $x\in ]-1,1[$. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}kx^k$. Enoncé Sachant que $e=\sum_{n\geq 0}\frac1{n!}$, déterminer la valeur des sommes suivantes $$\begin{array}{lllll} \displaystyle \mathbf 1.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n+1}{n!}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n^2-2}{n!}&& \displaystyle \mathbf 3.\ \sum_{n\geq 0}\frac{n^3}{n!}. \end{array}$$ Enoncé En utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange sur la fonction $t\mapsto {\ln1+t}$, montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{-1^{n-1}}{n}$ est convergente et de somme $\ln 2$. Sachant que $\dis\frac{1}{k}=\int_0^1 t^{k-1}dt$, retrouver d'une autre façon le résultat précédent. Enoncé Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$. Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que $$\int_0^\pi ft\sin\left\frac{2n+1t}{2}\rightdt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$ On pose $A_nt=\frac12+\sum_{k=1}^n \coskt.$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a $$A_nt=\frac{\sin\left2n+1t/2\right}{2\sint/2}.$$ Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi at^2+bt\cosntdt=\frac1{n^2}.$$ Vérifier alors que $$\int_0^\piat^2+btA_nt=S_n-\frac{\pi^2}6$$ où on a posé $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}$. Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$ Enoncé Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme général $\dis \arctan\left\frac{1}{k^2+k+1}\right.$ Enoncé Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme général $$u_n=\frac{-1^n}{n+-1^n}.$$ Comparaison à une intégrale Enoncé Soit $\alpha\in\mathbb R$. Pour $\alpha1$. On note $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac 1{k^{\alpha}}.$$ Soit $a\in\mathbb R$. Déterminer $$\lim_{x\to+\infty}\int_a^{x}\frac{dt}{t^\alpha}.$$ En déduire un équivalent simple de $R_n$. Enoncé Déterminer un équivalent simple de $\lnn!$. Enoncé Déterminer $\displaystyle \lim_{a\to+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a}{n^2+a^2}.$ Estimation des sommes partielles et du reste Enoncé Écrire un algorithme donnant un encadrement à $10^{-5}$ près de $\sum_{n\geq 1}\frac{-1^n}{n\lnn+1}$. Enoncé Soit pour $n\geq 1$, $u_n=\frac 1{2n-15^{2n-1}}$. Montrer que la série de terme général $u_n$ converge. On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_{k}$. Montrer que $R_n\leq \frac{25}{24}u_{n+1}$. En déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ à 0,001 près. Enoncé Pour tout entier naturel non nul, on note $$H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k,\ f_n=H_n-\ln n.$$ On considère également les suites $u_n_{n\geq 1}$ et $v_n_{n\geq 1}$ définies pour $n\geq 1$ par $$u_1=1\textrm{ et pour }n\geq 2, u_n=\frac 1n+\ln\left1-\frac 1n\right;$$ $$v_n=\frac 1n-\ln\left1+\frac 1n\right.$$ Démontrer que pour tout $n\geq 1$, on a $$\lnn+1\leq H_n\leq 1+\lnn.$$ En déduire un équivalent de $H_n$. Justifier que les séries $\sum_{n}u_n$ et $\sum_n v_n$ sont convergentes. Dans la suite de l'exercice, on notera $\gamma=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$. Exprimer, pour $n\geq 2$, $f_n-f_{n-1}$, en fonction de $u_n$. En déduire que $f_n$ converge vers $\gamma$. Quel est le signe pour $n\geq 2$ respectivement pour $n\geq 1$ de $u_n$ respectivement de $v_n$? Démontrer que, pour tout $N\geq 2$, $$\sum_{n=2}^N \big\lnn+1+\lnn-1-2\lnn\big=\lnN+1-\lnN-\ln2.$$ On note, pour $N\geq 1$, $S_N=\sum_{n=1}^N u_n$ et $T_N=\sum_{n=1}^N v_n$. Déduire des deux questions précédentes que les suites $S_N$ et $T_N$ sont adjacentes, de limite $\gamma$. En utilisant les suites $S_N$ et $T_N$, écrire une fonction Python \verb+gammaeps+ qui donne un encadrement de $\gamma$ d'amplitude inférieur ou égal à $eps$. Enoncé Pour $n\geq 1$, on note $H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\lnn+1\leq H_n\leq 1+\lnn.$$ En déduire un équivalent de $H_n$. On pose pour $n\geq 1$, $v_n=H_n-\lnn+1$. Vérifier que, pour $n\geq 2$, $v_{n}-v_{n-1}=\frac 1n-\ln\left1+\frac 1n\right$. Étudier la monotonie de $v_n$. En déduire que $v_n$ est convergente. On note $\gamma$ sa limite et on pose pour $n\geq 1$, $w_n=H_n-\lnn+1-\gamma$. Vérifier que, pour tout $x\geq 0$, $$\ln1+x=x-\int_0^x \frac{x-t}{1+t^2}dt.$$ En déduire que, pour tout $x\geq 0$, $$\left\ln1+x-x\right\leq\frac{x^2}2.$$ Démontrer que, pour tout $n\geq 2$, $$\leftw_n-w_{n-1}\right\leq \frac{1}{2n^2}.$$ Soit $M>N\geq 1$. Démontrer que $$\sum_{k=N+1}^M \frac1{k^2}\leq \frac1{N}.$$ En déduire, sous les mêmes hypothèses, que $$w_M-w_N\leq \frac1{2N}$$ puis que $$v_N-\gamma\leq \frac{1}{2N}.$$ Écrire un algorithme permettant de calculer une valeur approchée de $\gamma$ à $10^{-3}$ près. Enoncé On pose $H_n=1+\frac12+\dots+\frac1n$. Prouver que $H_n\sim_{+\infty}\ln n$. On pose $u_n=H_n-\ln n$, et $v_n=u_{n+1}-u_n$. Étudier la nature de la série $\sum_n v_n$. En déduire que la suite $u_n$ est convergente. On notera $\gamma$ sa limite. Soit $R_n=\sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$. Donner un équivalent de $R_n$. Soit $w_n$ tel que $H_n=\ln n+\gamma+w_n$, et soit $t_n=w_{n+1}-w_n$. Donner un équivalent du reste $\sum_{k\geq n}t_k$. En déduire que $H_n=\ln n+\gamma+\frac{1}{2n}+o\left\frac1n\right$. Enoncé Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$ et de donner un développement asymptotique de la somme partielle $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}.$ Soit $\alpha>1$ et $k\geq 2$. Démontrer que $$\int_{k}^{k+1}\frac{dt}{t^\alpha}\leq \frac1{k^\alpha}\leq \int_{k-1}^{k}\frac{dt}{t^\alpha}.$$ En déduire que $$\sum_{k\geq n}\frac{1}{k^{\alpha}}\sim_{+\infty}\frac{1}{\alpha-1n^{\alpha-1}}.$$ Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que $$\int_0^\pi ft\sin\left\frac{2n+1t}{2}\rightdt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$ On pose $A_nt=\frac12+\sum_{k=1}^n \coskt.$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a $$A_nt=\frac{\sin\left2n+1t/2\right}{2\sint/2}.$$ Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi at^2+bt\cosntdt=\frac1{n^2}.$$ Vérifier alors que $$\int_0^\piat^2+btA_ntdt=S_n-\frac{\pi^2}6.$$ Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$ Déduire des questions précédentes que $$S_n=\frac{\pi^2}6-\frac1n+o\left\frac 1n\right.$$ Enoncé Le but de l'exercice est de déterminer un équivalent du reste de certaines séries alternées. On considère $u_n_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs décroissant vers $0$, et on considère la série $\sum_{n\geq 0}-1^n u_n$ dont on rappelle qu'elle est convergente. On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}-1^k u_k$ son reste. On suppose de plus que la suite $u_n$ vérifie les deux conditions suivantes $$\forall n\geq0,\ u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n\geq 0\qquad\textrm{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=1.$$ Démontrer que pour tout $n\geq 0$, $R_n+R_{n+1}=u_{n+1}$. Démontrer que la suite $R_n$ est décroissante. En déduire que $R_n\sim_{+\infty}\frac{-1^{n+1} u_n}2.$

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